Question

已知y=f（x）是R上的可导函数，对于任意的正实数t，都有函数g（x）=f（x+t）-f（x）在其定义域内为减函数，则函数y=f（x）的图象可能为如图中（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：根据题意，可得函数y=f'（x）是其定义域上的减函数．由此再结合各图象对应的基本初等函数，利用求导法则求出它们的导数，再讨论导数的单调性，即可得到正确答案．

解答：解：∵函数g（x）=f（x+t）-f（x）在其定义域内为减函数，
∴g'（x）=f'（x+t）-f'（x）＜0在其定义域内恒成立
即f'（x+t）＜f'（x），结合t＞0，得函数y=f'（x）是其定义域上的减函数．
对于A，可设函数f（x）=ax²+bx+c，（a＜0）
∴f'（x）=2ax+b，满足在其定义域上为减函数；
对于B，可设f（x）=a^x，（0＜a＜1）
∴f'（x）=a^xlna，在（0，+∞）上是增函数，不符合题意；
对于C，可设f（x）=x³，可得f'（x）=3x²在其定义域上不是减函数，故C不正确；
对于D，可设f（x）=a^x，（a＞1）
∴f'（x）=a^xlna，在（0，+∞）上是增函数，不符合题意．
故选A

点评：本题给出函数的导数满足的条件，求函数可能的图象．考查了基本初等函数的图象与性质，函数导数与单调性质关系等知识，属于中档题．