题目内容
【题目】对于数列
，如果存在正整数
，使得
对一切
，
都成立，则称数列为
等差数列．
（1）若数列为2-等差数列，且前四项分别为2，-1，4，-3，求
的值；
（2）若既是2-等差数列，又是3-等差数列，证明：是等差数列．
【答案】（1）3；（2）证明见解析.
【解析】
（1）根据数列的递推关系写出第8项和第9项，即可得到答案；
（2）根据
既是2-等差数列，得
，则
和
均成等差数列，设等差数列
公差分别为
；因为是3-等差数列，所以
，则
成等差数列，设公差为
；取数列中的特殊项可得
，并设
，从而得到
，再根据
的关系，将等差数列的通项写成
，即可证得结论.
（1）∵
，
，
，
，
，
∴
.
（2）若既是2-等差数列，即，则和均成等差数列，
设等差数列公差分别为，
∵是3-等差数列，∴，则成等差数列，设公差为，
既是中的项，也是中的项，
∴
，
既是中的项，也是中的项，
∴
.
设，则，
，
又
，
，
∴
，
，
综上所得，
为等差数列.
【题目】有一名高二学生盼望2020年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取：①2020年2月通过考试进入国家数学奥赛集训队（集训队从2019年10月省数学竞赛一等奖中选拔）：②2020年3月自主招生考试通过并且达到2020年6月高考重点分数线，③2020年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线），该学生具备参加省数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表
省数学竞赛一等奖 | 自主招生通过 | 高考达重点线 | 高考达该校分数线 |
0.5 | 0.6 | 0.9 | 0.7 |
若该学生数学竞赛获省一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是0.2.若进入国家集训队，则提前录取，若未被录取，则再按②、③顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取.（注：自主招生考试通过且高考达重点线才能录取）
（Ⅰ）求该学生参加自主招生考试的概率；
（Ⅱ）求该学生参加考试的次数
的分布列及数学期望；
（Ⅲ）求该学生被该校录取的概率.
