题目内容

已知在公比为实数的等比数列{an}中,a3=4,且a4,a5+4,a6成等差数列.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设数列{an}的前n项和为Sn,求
2an+1Sn
的最大值.
分析:(I)先由等比数列的通项公式把已知条件表示为2(4q2+4)=4q+4q3,解方程可求q,通项公式an
(II)利用等比数列的前n项和公式可求sn,代入整理可得,
2an+1
sn
=1+
2
2n-1
,从而可求最大值.
解答:解:(Ⅰ)设数列{an}的公比为q(q∈R),依题意可得2(a5+4)=a4+a6,(2分)
即2(4q2+4)=4q+4q3,整理得,(q2+1)(q-2)=0(4分)
∵q∈R,∴q=2,a1=1.∴数列{an}的通项公式an=2n-1(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知an=2n-1,∴Sn=2n-1∴
2an+1
Sn
=
2n+1
2n-1
=1+
2
2n-1
(10分)
∵n≥1,∴2n-1≥1,∴1+
2
2n-1
≤3,
∴当n=1时,
2an+1
Sn
有最大值3.(12分)
点评:本题考查了等比数列的通项公式,等比数列的前n项和公式,及利用数列的单调性求数列的最值,属于基本知识的综合运用,属于中档试题.
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