题目内容
下列命题中:(1)方程x2+(a-3)x+a=0有一个正实根,一个负实根,则a<0;
(2)函数f(x)=lg(mx2+mx+1)的定义域为R,则m的取值范围是m∈(0,4);
(3)若函数
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(4)若函数f(3x+1)是偶函数,则f(x)的图象关于直线
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(5)若对于任意x∈(1,3)不等式x2-ax+2<0恒成立,则
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其中的真命题是 (写出所有真命题的编号).
【答案】分析:(1)用根的分布来解,得到f(0)=a<0;
(2)由函数f(x)=lg(mx2+mx+1)的定义域为R,知mx2+mx+1>0的定义域为R,由此能求出实数m的取值范围;
(3)由定义域得a>-3,由单调性得a<-2,由此能求出实数a的范围;
(4)若函数f(3x+1)是偶函数,则f(x)的图象关于直线x=1对称;
(5)由题意得x2+2<ax对于任意x∈(1,3)恒成立,故x+
<a对于任意x∈(1,3)恒成立,由此能求出实数a的取值范围.
解答:解:(1)用根的分布来解,
令f(x)=x2+(a-3)x+a,一个比0大,一个比0小,
只要f(0)=a<0即可.故(1)正确;
(2)∵函数f(x)=lg(mx2+mx+1)的定义域为R,
∴mx2+mx+1>0的定义域为R,
∴m=0,或
,
解得0≤m<4,故(2)不正确;
(3)∵函数
在区间(-∞,1]上是减函数,
∴
,解得-3≤a≤-2,故(3)正确;
(4)∵函数f(3x+1)是偶函数,
∴函数f(3x+1)的图象关于y轴对称,
∴f(3x)的图象关于x=
对称,
∴f(x)的图象关于x=1对称,故(4)不正确;
(5)∵对于任意x∈(1,3)不等式x2-ax+2<0恒成立,
∴x2+2<ax对于任意x∈(1,3)恒成立,
∴x+
<a对于任意x∈(1,3)恒成立,
∵当x∈(1,3)时,x+
∈[2
,
],
∴a
,故(5)成立.
故答案为:(1),(3),(5).
点评:本题考查命题的真假判断,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
(2)由函数f(x)=lg(mx2+mx+1)的定义域为R,知mx2+mx+1>0的定义域为R,由此能求出实数m的取值范围;
(3)由定义域得a>-3,由单调性得a<-2,由此能求出实数a的范围;
(4)若函数f(3x+1)是偶函数,则f(x)的图象关于直线x=1对称;
(5)由题意得x2+2<ax对于任意x∈(1,3)恒成立,故x+
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解答:解:(1)用根的分布来解,
令f(x)=x2+(a-3)x+a,一个比0大,一个比0小,
只要f(0)=a<0即可.故(1)正确;
(2)∵函数f(x)=lg(mx2+mx+1)的定义域为R,
∴mx2+mx+1>0的定义域为R,
∴m=0,或
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解得0≤m<4,故(2)不正确;
(3)∵函数
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∴
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(4)∵函数f(3x+1)是偶函数,
∴函数f(3x+1)的图象关于y轴对称,
∴f(3x)的图象关于x=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024191014104714881/SYS201310241910141047148013_DA/4.png)
∴f(x)的图象关于x=1对称,故(4)不正确;
(5)∵对于任意x∈(1,3)不等式x2-ax+2<0恒成立,
∴x2+2<ax对于任意x∈(1,3)恒成立,
∴x+
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∵当x∈(1,3)时,x+
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![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024191014104714881/SYS201310241910141047148013_DA/7.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024191014104714881/SYS201310241910141047148013_DA/8.png)
∴a
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故答案为:(1),(3),(5).
点评:本题考查命题的真假判断,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
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