题目内容
如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．
（I）证明：AC⊥B1D；
（II）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．
（I）证明：AC⊥B1D；
（II）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．
（I）∵BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥BB1，
又∵AC⊥BD，BB1、BD是平面BB1D内的相交直线
∴AC⊥平面BB1D，
∵B1D?平面BB1D，∴AC⊥B1D；
（II）∵AD∥BC，B1C1∥BC，∴AD∥B1C1，
由此可得直线B1C1与平面ACD1所成的角，等于直线AD与平面ACD1所成的角（记为θ）
连接A1D，
∵直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∠BAD=∠B1A1D1=90°，
∴B1A1⊥平面A1D1DA，结合AD1?平面A1D1DA，得B1A1⊥AD1
又∵AD=AA1=3，∴四边形A1D1DA是正方形，可得AD1⊥A1D
∵B1A1、A1D是平面A1B1D内的相交直线，∴AD1⊥平面A1B1D，可得AD1⊥B1D，
由（I）知AC⊥B1D，结合AD1∩AC=A可得B1D⊥平面ACD，从而得到∠ADB1=90°-θ，
∵在直角梯形ABCD中，AC⊥BD，∴∠BAC=∠ADB，从而得到Rt△ABC∽Rt△DAB
因此，
=
，可得AB=
=
连接AB1，可得△AB1D是直角三角形，
∴B1D2=B1B2+BD2=B1B2+AB2+BD2=21，B1D=
在Rt△AB1D中，cos∠ADB1=
=
=
，
即cos（90°-θ）=sinθ=
，可得直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值为
．
又∵AC⊥BD，BB1、BD是平面BB1D内的相交直线
∴AC⊥平面BB1D，
∵B1D?平面BB1D，∴AC⊥B1D；
（II）∵AD∥BC，B1C1∥BC，∴AD∥B1C1，
由此可得直线B1C1与平面ACD1所成的角，等于直线AD与平面ACD1所成的角（记为θ）
连接A1D，
∵直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∠BAD=∠B1A1D1=90°，
∴B1A1⊥平面A1D1DA，结合AD1?平面A1D1DA，得B1A1⊥AD1
又∵AD=AA1=3，∴四边形A1D1DA是正方形，可得AD1⊥A1D
∵B1A1、A1D是平面A1B1D内的相交直线，∴AD1⊥平面A1B1D，可得AD1⊥B1D，
由（I）知AC⊥B1D，结合AD1∩AC=A可得B1D⊥平面ACD，从而得到∠ADB1=90°-θ，
∵在直角梯形ABCD中，AC⊥BD，∴∠BAC=∠ADB，从而得到Rt△ABC∽Rt△DAB
因此，
| AB |
| DA |
| BC |
| AB |
| BC•DA |
| 3 |
连接AB1，可得△AB1D是直角三角形，
∴B1D2=B1B2+BD2=B1B2+AB2+BD2=21，B1D=
| 21 |
在Rt△AB1D中，cos∠ADB1=
| AD |
| B1D |
| 3 | ||
|
| ||
| 7 |
即cos（90°-θ）=sinθ=
| ||
| 7 |
| ||
| 7 |
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