Question

10．已知等差数列{a_n}中，等式（m-n）a_m+n=ma_m-na_n（m、n∈N^*）恒成立，运用类比思想方法，可知在等比数列{b_n}中，与此类似的等式b_m+n=b_m$（\frac{{b}_{n}}{{b}_{m}}）^{\frac{n}{n-m}}$恒成立．

Answer 1

分析 b_n=b₁q^n-1，b_m=b₁q^m-1，可得q^n-m=$\frac{{b}_{n}}{{b}_{m}}$，q=$（\frac{{b}_{n}}{{b}_{m}}）^{\frac{1}{n-m}}$，利用b_m+n=b_mqⁿ，可得结论．

解答 解：∵b_n=b₁q^n-1，b_m=b₁q^m-1，
∴q^n-m=$\frac{{b}_{n}}{{b}_{m}}$，
∴q=$（\frac{{b}_{n}}{{b}_{m}}）^{\frac{1}{n-m}}$
∴b_m+n=b_mqⁿ=b_m$（\frac{{b}_{n}}{{b}_{m}}）^{\frac{n}{n-m}}$．
故答案为：b_m+n=b_m$（\frac{{b}_{n}}{{b}_{m}}）^{\frac{n}{n-m}}$．

点评 本题考查类比思想，考查等比数列的通项的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．