Question

（1）设、是不全为零的实数，试比较与的大小；
（2）设为正数，且，求证：.

Answer 1

(1)；(2)证明见解析．

试题分析：(1)比较两个数的大小，一般是用作差法，，下面就是确定与0的大小，是一个二次三项式，因此我们可用配方法配方，，由于不全为零，因此，从而有
；另外本题实质是比较与的大小，想到基本不等式，有(时取等号)，而，再讨论下等号能否成立即可；(2)这是条件不等式的证明，而且已知与求证式都是对称式，因此大胆想象等号成立时，各字母应该相等，事实上也正是在时取等号，接下来考虑不等式的证明，关键是条件怎么应用，这里我们偿试把中的分子的1全部用代换 ，有，把这个分式展开重新分组为，下面易证．
试题解析：（1）解法1：-==      3分
因为、是不全为零的实数，所以，即>。    6分
解法2：当时， ；         2分
当时，作差：；
又因为、是不全为零的实数，所以当时，>。
综上，>。         6分
（2）证明：当时，取得等号3。         7分
作差比较：


．
所以，          14分