Question

若x₁、x₂是关于一元二次方程ax²＋bx＋c(a≠0)的两个根，则方程的两个根x₁、x₂和系数a、b、c有如下关系：x₁＋x₂＝－，x₁•x₂＝．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的两个交点为A(x₁，0)，B(x₂，0)．利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为：
AB＝|x₁－x₂|＝＝＝＝．

参考以上定理和结论，解答下列问题：
设二次函数y＝ax²＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的两个交点A(x₁，0)、B(x₂，0)，抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．
(1)当△ABC为直角三角形时，求b²－4ac的值；
(2)当△ABC为等边三角形时，求b²－4ac的值．

Answer 1

(1) 4；(2) 12

解：(1)当△ABC为直角三角形时，过C作CE⊥AB于E，则AB＝2CE．
∵抛物线与x轴有两个交点，△＝b²－4ac＞0，则|b²－4ac|＝b²－4ac．
∵a＞0，∴AB＝，
又∵CE＝||＝，
∴，
∴，
∴，
∵b²－4ac＞0，
∴b²－4ac＝4；
(2)当△ABC为等边三角形时，
由(1)可知CE＝，
∴，
∵b²－4ac＞0，
∴b²－4ac＝12．