Question

6．已知抛物线C的顶点在坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为2，且$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{OA}=10$．
（Ⅰ）求此抛物线C的方程；
（Ⅱ）过点（4，0）做直线l交抛物线C于A，B两点，求证：OA⊥OB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设抛物线C：y²=2px（p＞0），点A（2，y₀），代入抛物线方程，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可求得p=2，进而得到抛物线方程；
（Ⅱ）讨论当直线l斜率不存在时，求出A，B坐标，可得OA⊥OB；当直线l斜率存在时，设l：y=k（x-4），联立抛物线方程，运用韦达定理，结合向量垂直的条件，化简整理即可得证．

解答 （Ⅰ）解：设抛物线C：y²=2px（p＞0），点A（2，y₀），
则有${y_0}^2=4p$，
∵$F（\frac{p}{2}，0）$，∴$\overrightarrow{FA}=（2-\frac{p}{2}，{y_0}），\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{OA}=4-p+{y_0}^2=4+3p=10$，
∴p=2，
所以抛物线C的方程为y²=4x；
（Ⅱ）证明：当直线l斜率不存在时，此时l：x=4，
解得A（4，4），B（4，-4），
满足$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，∴OA⊥OB；
当直线l斜率存在时，设l：y=k（x-4），
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ y=k（x-4）\end{array}\right.⇒{k^2}{x^2}-（8{k^2}+4）x+16{k^2}=0$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}+4}}{k^2}，{x_1}{x_2}=16$，
则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂-4k²（x₁+x₂）+16k²
=16（1+k²）-32k²-16+16k²=0，
即有OA⊥OB．
综上，OA⊥OB成立．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的方程的运用，以及直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，同时考查向量数量积的坐标表示，和向量垂直的条件，属于中档题．