题目内容
【题目】如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF∥平面ABCD，EF=1，FB=FC，∠BFC=90°，AE= 
． 
（1）求证：AB⊥平面BCF；
（2）求直线AE与平面BDE所成角的正切值．
【答案】
（1）证明：取AB的中点M，连接EM，则AM=MB=1，
∵EF∥平面ABCD，EF平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，
∴EF∥AB，即EF∥MB．
∵EF=MB=1
∴四边形EMBF是平行四边形．
∴EM∥FB，EM=FB．
在Rt△BFC中，FB2+FC2=BC2=4，又FB=FC，得FB= 
．
∴EM= ．
在△AEM中，AE= 
，AM=1，EM= ，
∴AM2+EM2=3=AE2，
∴AM⊥EM．
∴AM⊥FB，即AB⊥FB．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB⊥BC．
∵FB∩BC=B，FB平面BCF，BC平面BCF，
∴AB⊥平面BCF．
（2）解：连接AC，AC与BD相交于点O，则点O是AC的中点，
取BC的中点H，连接OH，EO，FH，
则OH∥AB，OH= 
AB=1．
由（1）知EF∥AB，且EF= AB，
∴EF∥OH，且EF=OH．
∴四边形EOHF是平行四边形．
∴E0∥FH，且EO=FH=1．
由（1）知AB⊥平面BCF，又FH平面BCF，
∴FH⊥AB，
∵FH⊥BC，AB∩BC=B，FH平面ABCD，BC平面ABCD，
∴FH⊥平面ABCD．
∴E0⊥平面ABCD．
∵AO平面ABCD，
∴EO⊥AO．
∵AO⊥BD，EO∩BD=O，EO平面EBD，BD平面EBD，
∴AO⊥平面EBD．
∴∠AEO是直线AE与平面BDE所成的角．
在Rt△AOE中，tan∠AEO= 
= ．
∴直线AE与平面BDE所成角的正切值为 ．
【解析】（1）先证明出四边形EMBF是平行四边形，推断出EM∥FB，EM=FB．进而在Rt△BFC中求得EM，在△AEM中，根据边长推断出AM2+EM2=3=AE2 ， 进而证明出AM⊥EM．然后证明出四边形ABCD是正方形，进而推断出AB⊥BC．最后通过线面垂直的判定定理证明出AB⊥平面BCF．（2）先证明出∠AEO是直线AE与平面BDE所成的角，进而在Rt△AOE中，求得tan∠AEO．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想；已知
为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为
，则
即可以解答此题．
