题目内容

下列命题中的真命题的个数是(  )
(1)命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题为“若x=1,则x2+x-2≠0”;
(2)若命题p:?x0∈(-∞,0],(
1
2
)
x0
≥1,则¬p:?x∈(0,+∞),(
1
2
x<1;
(3)设命题p:?x0∈(0,∞),log2x0<log3x0,命题q:?x∈(0,
π
2
),tanx>sinx则p∧q为真命题;
(4)设a,b∈R,那么“ab+1>a+b”是“a2+b2<1”的必要不充分条件.
分析:(1)否定原命题的题设做题设,否定原命题的结论做结论,就得到原命题的否命题.据此即可进行判断;
(2)根据命题:?x0∈(-∞,0],(
1
2
)
x0
≥1是特称命题,其否定为全称命题,将“存在”改为“任意”,“≥“改为“<”即可进行判断;
(3)根据对数的运算性质,我们可以判断出命题p的真假,根据三角函数的性质,可以判断出命题q真假,再由复合命题p∧q的真值表进行判断即可;
(4)由于a2+b2<1表示以原点为圆心以1的半径的圆内各点,ab+1>a+b即(a-1)(b-1)>0,画出其表示的区域,根据图形,结合两个范围的包含关系,分别判断a2+b2<1⇒ab+1>a+b与ab+1>a+b⇒a2+b2<1的真假,然后根据充要条件的定义,即可进行判断.
解答:解:(1)∵x=1的否定是x≠1,
x2+x-2=0的否定是x2+x-2≠0,
∴命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题为:
“若x≠1,则x2+x-2≠0”;故(1)是假命题.
(2)∵命题p:?x0∈(-∞,0],(
1
2
)
x0
≥1,是特称命题
∴命题的否定为?x∈(-∞,0],(
1
2
x<1.故(2)是假命题;
(3)∵命题p:?x0∈(0,∞),log2x0<log3x0为真命题,
命题q:?x∈(0,
π
2
),tanx>sinx也为真命题,
∴命题“p∧q”是真命题,故(3)为真;
(4)∵a2+b2<1时,(a,b)在以原点为圆心以1的半径的圆内,
ab+1>a+b即(a-1)(b-1)>0,画出其表示的区域(阴影部分),
∵a2+b2<1时,(a,b)在以原点为圆心以1的半径的圆内,
此时ab+1>a+b一定成立,
故|a|+|b|<1是a2+b2<1的必要条件;
但当ab+1>a+b时,a2+b2<1不一定成立
故|a|+|b|<1是a2+b2<1的不充分条件;
故|a|+|b|<1是a2+b2<1成立的必要不充分条件,故(4)正确命题.
命题中的真命题的是(3),(4).
故选B.
点评:本题考查命题的真假判断与应用、四种命题的相互转化,这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词,或者对于“>”的否定用“<”了.这里就有注意量词的否定形式.如“都是”的否定是“不都是”,而不是“都不是”.特称命题的否定是全称命题,“存在”对应“任意”.属基础题.
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