题目内容

【题目】如图,PA⊥⊙O所在平面,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,AE⊥PC,AF⊥PB,给出下列结论:①AE⊥BC;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC,其中真命题的序号是

【答案】①②④
【解析】解:①∵AB是⊙O的直径,∴BC⊥AC,∵PA⊥⊙O所在平面,∴PA⊥BC.
又PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.
∵AE平面PAC.
∴BC⊥AE.
因此①正确.
④由①可知:AE⊥BC,
又∵AE⊥PC,PC∩BC=C,
∴AE⊥平面PBC.
因此④正确.
②由④可知:AE⊥平面PBC,∴AE⊥PB.
又∵AF⊥PB,AE∩AF=A,
∴PB⊥平面AEF,
∴PB⊥EF.
因此②正确.
③AF⊥BC不正确;
用反证法证明:假设AF⊥BC,
又AF⊥PB,PB∩BC=B.
∴AF⊥平面PBC.
这与AE⊥平面PBC相矛盾.因此假设不成立.
故③不正确.
综上可知:只有①②④正确.
所以答案是:①②④.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用命题的真假判断与应用的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.

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