Question

如图所示，已知AB⊥平面BCD，M、N分别是AC、AD的中点，BC⊥CD．
（I）求证：MN∥平面BCD；
（II）求证：平面BCD⊥平面ABC；
（III）若AB=1，BC=

3

，求直线AC与平面BCD所成的角．

Answer 1

分析：（I）利用线面平行的判定定理：只需证明MN∥CD；
（II）利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直，只需说明AB⊥平面BCD即可；
（III）因为AB⊥平面BCD，由线面角的定义可知∠ACB为直线AC与平面BCD所成的角，通过解直角三角形即可解得；

解答：解：（Ⅰ）因为M，N分别是AC，AD的中点，所以MN∥CD．
又MN?平面BCD且CD?平面BCD，
所以MN∥平面BCD．
（Ⅱ）因为AB⊥平面BCD，AB?平面ABC，
所以平面BCD⊥平面ABC．
（Ⅲ）因为AB⊥平面BCD，
所以∠ACB为直线AC与平面BCD所成的角．
在直角△ABC中，AB=1，BC=

3

，
所以tan∠ACB=

AB

BC

=

3

3

．所以∠ACB=30°．
故直线AC与平面BCD所成的角为30°．

点评：本题考查线面平行、面面垂直的判定，考查线面角的求解，属中档题，熟记相关判定定理及有关概念是解决问题的基础．