Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)的离心率为

3

，若它的一条准线与抛物线y²=4x的准线重合．设双曲线与抛物线的一个交点为P，抛物线的焦点为F，则|PF|=

 

．

Answer 1

分析：由离心率求得a和c的关系，进而根据双曲线方程准线与抛物线y²=4x的准线重合，得其准线方程，求得a和c的关系，进而求得a，c，则求得b，双曲线方程可得，进而把抛物线和双曲线方程联立求得交点坐标，则点到焦点的距离可求．

解答：解：由e=

3

，得

c

a

=

3

，
由一条准线与抛物线y²=4x的准线重合，
得准线为x=-1，
所以

a2

c

=1，
故a=

3

，c=3，b=

6

，
所以双曲线方程为

x2

3

-

y2

6

=1，左准线方程为：x=-1，
由

x2 3 - y2 6 =1 y 2=4x

得交点为（3，±

12

），
∵P到抛物线的焦点F的距离等于到其准线的距离，
∴|PF|=3-（-1）=4
则|PF|=4
故答案为：4．

点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，考查了抛物线与双曲线的关系．