题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若,方程
有两个不同的实数解,求实数
的取值范围.
【答案】(1)在
上单调递减,在
上单调递增.(2)
【解析】
(1)求出函数定义域和导函数,令导数为零,找出临界值,根据导数的正负,判断函数的单调性即可;
(2)分离参数,构造函数,利用导数研究该函数的值域以及单调性,从而解决问题.
(1)依题意函数的定义域为
,
,
令,则
,故
在
单调递增,
又 ,所以当
时,
, 即
,
当时,
,即
;
故在
上单调递减,在
上单调递增.
(2)方程化简可得
,
所以方程有两解等价于方程
有两解,
设,则
,
令,由于
,
所以在
单调递减,
又,所以当
时,
, 即
当时,
,即
;
故在
上单调递增,在
上单调递减.
所以在
时取得最大值
,
又,
,
所以存在,使得
又在
上单调递增,所以当
时,
;
当时,
,即
.
因为在
上单调递减,
且当时,
,
.
所以方程有两解只须满足
,
解得:
所以方程有两个不同的实数解时,
实数的取值范围是
.
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