Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5．
（1）求抛物线方程；
（2）过焦点F作倾斜角为45°的直线，交抛物线于A，B两点，求 A B的中点C到抛物线准线的距离．

Answer 1

分析：（1）抛物线y2=2px的准线为x=-

p

2

，于是4+

p

2

=5，由此能求出抛物线方程．
（2）由点F的坐标是（1，0），知AB的方程为y=x-1，由

y=x-1 y2=4x

得x²-6x+1=0．由此能求出AB的中点C到抛物线准线的距离．

解答：解：（1）抛物线y2=2px的准线为x=-

p

2

，于是4+

p

2

=5，
∴p=2．
∴抛物线方程为y²=4x．…（4分）
（2）∵点F的坐标是（1，0），
所以AB的方程为y=x-1，…（6分）
由

y=x-1 y2=4x

消y得x²-6x+1=0…（8分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=6，
所以C点的横坐标为x_C=3…（10分）
所以AB的中点C到抛物线准线的距离为x_C+1=4．…（12分）

点评：本题主要考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．