题目内容
在探究函数f(x)=x3+
，x∈(-∞，0)∪(0，+∞)的最值中，
（1）先探究函数y=f（x）在区间（0，+∞）上的最值，列表如下：
观察表中y值随x值变化的趋势，知x=
（2）再依次探究函数y=f（x）在区间（-∞，0）上以及区间（-∞，0）∪（0，+∞）上的最值情况（是否有最值？是最大值或最小值？），请写出你的探究结论，不必证明；
（3）请证明你在（1）所得到的结论是正确的．
| 3 |
| x |
（1）先探究函数y=f（x）在区间（0，+∞）上的最值，列表如下：
| x | … | 0.1 | 0.2 | 0.5 | 0.7 | 0.9 | 1 | 1.1 | 1.2 | 1.3 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
| y | … | 30.00 | 15.01 | 6.13 | 4.63 | 4.06 | 4 | 4.06 | 4.23 | 4.50 | 9.50 | 28 | 64.75 | 125.6 | … |
1
1
时，f（x）有最小值为4
4
；（2）再依次探究函数y=f（x）在区间（-∞，0）上以及区间（-∞，0）∪（0，+∞）上的最值情况（是否有最值？是最大值或最小值？），请写出你的探究结论，不必证明；
（3）请证明你在（1）所得到的结论是正确的．
分析：（1）观察表中y值随x值变化的趋势，即可得出答案；
（2）利用奇函数的对称性及（1）的结论即可得出；
（3）利用导数研究函数的单调性、极值即可得出．
（2）利用奇函数的对称性及（1）的结论即可得出；
（3）利用导数研究函数的单调性、极值即可得出．
解答：解：（1）观察表中y值随x值变化的趋势，知x=1时，f（x）有最小值为4；
（2）由奇函数的对称性可知：函数y=f（x）在区间（-∞，0）上有最大值-4，此时x=-1．
∵函数y=f（x）在区间（-∞，0）∪（0，+∞）上的值域是（-∞，-4]∪[4，+∞），
∴函数y=f（x）在区间（-∞，0）∪（0，+∞）上的既不存在最大值，也不存在最小值；
（3）当x＞0时，f′(x)=3x2-
=
，
令f′（x）=0，解得x=1．
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）在此区间内单调递减；
当1＜x时，f′（x）＞0，函数f（x）在此区间内单调递增．
∴函数f（x）在x=1时取得极小值，也即最小值，且f（1）=4．
（2）由奇函数的对称性可知：函数y=f（x）在区间（-∞，0）上有最大值-4，此时x=-1．
∵函数y=f（x）在区间（-∞，0）∪（0，+∞）上的值域是（-∞，-4]∪[4，+∞），
∴函数y=f（x）在区间（-∞，0）∪（0，+∞）上的既不存在最大值，也不存在最小值；
（3）当x＞0时，f′(x)=3x2-
| 3 |
| x2 |
| 3(x2+1)(x+1)(x-1) |
| x2 |
令f′（x）=0，解得x=1．
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）在此区间内单调递减；
当1＜x时，f′（x）＞0，函数f（x）在此区间内单调递增．
∴函数f（x）在x=1时取得极小值，也即最小值，且f（1）=4．
点评：学会观察分析，熟练掌握奇函数的对称性、利用导数研究函数的单调性极值是解题的关键．
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