Question

探究函数f(x)=x+

4

x

，x∈(0，+∞)的最小值，并确定取得最小值时x的值．
列表如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	8.5	5	4.17	4.05	4.005	4	4.005	4.002	4.04	4.3	5	5.8	7.57	…

请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
函数f(x)=x+

4

x

(x＞0)在区间（0，2）上递减；
函数f(x)=x+

4

x

(x＞0)在区间

（2，+∞）

上递增．
当x=

2

时，y_最小=

4

．
证明：函数f(x)=x+

4

x

(x＞0)在区间（0，2）递减．
思考：
（1）函数f(x)=x+

4

x

(x＜0)时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）
（2）函数f(x)=x+

k

x

(x＞0，k＞0)时有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）

Answer 1

分析：由表格可知函数f(x)=x+

4

x

(x＞0)在（2，+∞）上递增；当x=2时，y_最小=4，证明单调性可用定义法；思考题两步可由图象结合基本不等式的结论可得答案．

解答：解：由表格可知函数f(x)=x+

4

x

(x＞0)在（2，+∞）上递增；当x=2时，y_最小=4
证明：设x₁，x₂是区间，（0，2）上的任意两个数，且x₁＜x₂．
f(x1)-f(x2)=x1+

4

x1

-(x2+

4

x2

)=x1-x2+

4

x1

-

4

x2

=(x1-x2)(1-

4

x1x2

)=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0
又∵x₁，x₂∈（0，2），∴0＜x₁x₂＜4，∴x₁x₂-4＜0，∴y₁-y₂＞0
∴函数在（0，2）上为减函数．
思考：（1）y=x+

4

x

，x∈(-∞，0)时，x=-2时，y最大=-4

（2）函数f(x)=x+

k

x

(x＞0，k＞0)时有最小值，此时x=

k

，y_最小=2

k

点评：本题为函数的单调性及最值得求解，观察图表结合基本不等式是解决问题的关键，属中档题．