题目内容
【题目】在圆内有一点
,
为圆
上一动点,线段
的垂直平分线与
的连线交于点
.
(Ⅰ)求点的轨迹方程.
(Ⅱ)若动直线与点
的轨迹交于
、
两点,且以
为直径的圆恒过坐标原点
.问是否存在一个定圆与动直线
总相切.若存在,求出该定圆的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)存在定圆
总与直线
相切
【解析】
(Ⅰ)由点在线段
的上,结合垂直平分线的性质可得
,从而由椭圆的定义可得结果;(Ⅱ)直线
斜率不存在时,原点
到直线
的距离为
,直线
斜率存在时,可设直线
的方程为
,解
消去
得方程:
,利用向量垂直数量积为零,结合韦达定理可得
,由点点直线距离公式可得原点
到直线
的距离
,进而可得结果.
(Ⅰ)圆的圆心为
,半径为
点
在线段
的垂直平分线上
又点
在线段
的上
由椭圆的定义可知点
的轨迹是以
,
为焦点,长轴长为
的椭圆,
,故点
的轨迹方程为
(Ⅱ)假设存在这样的圆.设,
.
由已知,以为直径的圆恒过原点
,即
,所以
.
当直线垂直于
轴时,
,
,所以
,又
,解得
,
不妨设,
或
,
,即直线
的方程为
或
,此时原点
到直线
的距离为
.
当直线的斜率存在时,可设直线
的方程为
,解
消去
得方程:
因为直线
与椭圆
交于
,
两点,所以方程的判别式
即
,且
,
.
由,得
,
所以整理得
(满足
).
所以原点到直线
的距离
.
综上所述,原点到直线
的距离为定值
,即存在定圆
总与直线
相切.
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(1)写出价格关于时间
的函数关系式;(
表示投放市场的第
天);
(2)销售量与时间
的函数关系:
,则该产品投放市场第几天销售额最高?最高为多少千元?