题目内容
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B1C1的中点．（Ⅰ）求证：A1D⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）求二面角D-A1C-A的余弦值．
（文科）如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．
（Ⅰ）求证：DC⊥平面ABC；
（Ⅱ）设CD=a，求三棱锥A-BFE的体积．
【答案】分析：（Ⅰ） 先证明三棱柱是直三棱柱，由CC1⊥A1D，A1D⊥B1C1，证得A1D⊥平面BB1C1C．
（Ⅱ） 如图所示建立直角坐标系A-xyz，求出二面角的两个面的法向量，求出两个法向量夹角的
余弦值，此余弦值的相反数即为所求．
（文答案）（Ⅰ） AB⊥BD，由面面垂直的性质可得AB⊥底面BDC，故AB⊥CD，又DC⊥BC，DC⊥平面ABC．
（Ⅱ） 证得EF⊥平面ABC，可得
，求出三角形AEB的面积和EF的长度，
即可求得结果．
解答：
（Ⅰ）证明：因为侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，
所以AA1⊥AC，AA1⊥AB，
所以AA1⊥平面ABC，三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱．
因为A1D?平面A1B1C1，所以CC1⊥A1D，
又因为A1B1=A1C1，D为B1C1中点，所以A1D⊥B1C1．
因为CC1∩B1C1=C1，所以A1D⊥平面BB1C1C．
（Ⅱ）解：因为侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，
所以AB，AC，AA1两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系A-xyz．
设AB=1，则
.
，设平面A1DC的法向量为
，
则有
，
，x=-y=-z，取x=1，得
．
又因为
，AB⊥平面ACC1A1，
所以平面ACC1A1的法向量为
，因为二面角D-A1C-A是钝角，
所以，二面角D-A1C-A的余弦值为
．
（文答案）（Ⅰ）证明：在图甲中∵AB=BD且∠A=45°∴∠ADB=45°，∠ABD=90°，即AB⊥BD．
在图乙中，∵平面ABD⊥平面BDC，且平面ABD∩平面BDC=BD
，∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．
又∠DCB=90°，∴DC⊥BC，且AB∩BC=B，∴DC⊥平面ABC．
（Ⅱ）解：∵E、F分别为AC、AD的中点，∴EF∥CD，又由（Ⅰ）知，DC⊥平面ABC，
∴EF⊥平面ABC，∴
．
在图甲中，∵∠ADC=105°，∴∠BDC=60°，∠DBC=30°，
由CD=a得
，
，
∴
，∴
，
∴
．
点评：本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，求棱锥的体积，二面角的大小，直线与平面垂直的判定、性质的应用．
（Ⅱ） 如图所示建立直角坐标系A-xyz，求出二面角的两个面的法向量，求出两个法向量夹角的
余弦值，此余弦值的相反数即为所求．
（文答案）（Ⅰ） AB⊥BD，由面面垂直的性质可得AB⊥底面BDC，故AB⊥CD，又DC⊥BC，DC⊥平面ABC．
（Ⅱ） 证得EF⊥平面ABC，可得
，求出三角形AEB的面积和EF的长度，即可求得结果．
解答：
（Ⅰ）证明：因为侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，所以AA1⊥AC，AA1⊥AB，
所以AA1⊥平面ABC，三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱．
因为A1D?平面A1B1C1，所以CC1⊥A1D，
又因为A1B1=A1C1，D为B1C1中点，所以A1D⊥B1C1．
因为CC1∩B1C1=C1，所以A1D⊥平面BB1C1C．
（Ⅱ）解：因为侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，
所以AB，AC，AA1两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系A-xyz．
设AB=1，则
.，设平面A1DC的法向量为，则有
，，x=-y=-z，取x=1，得．又因为
，AB⊥平面ACC1A1，所以平面ACC1A1的法向量为
，因为二面角D-A1C-A是钝角，所以，二面角D-A1C-A的余弦值为
．（文答案）（Ⅰ）证明：在图甲中∵AB=BD且∠A=45°∴∠ADB=45°，∠ABD=90°，即AB⊥BD．
在图乙中，∵平面ABD⊥平面BDC，且平面ABD∩平面BDC=BD
，∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．又∠DCB=90°，∴DC⊥BC，且AB∩BC=B，∴DC⊥平面ABC．
（Ⅱ）解：∵E、F分别为AC、AD的中点，∴EF∥CD，又由（Ⅰ）知，DC⊥平面ABC，
∴EF⊥平面ABC，∴
．在图甲中，∵∠ADC=105°，∴∠BDC=60°，∠DBC=30°，
由CD=a得
，，∴
，∴，∴
．点评：本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，求棱锥的体积，二面角的大小，直线与平面垂直的判定、性质的应用．
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