Question

函数f(x)=Asin(ωx-

π

6

)+1(A＞0，ω＞0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为

π

2

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设α∈(0，

π

2

)，f(

α

2

)=

11

5

，求sinα的值．

Answer 1

分析：（1）由y=Asin（ωx+φ）的最大值为3可求得A，由

T

2

=

π

2

可求得ω，从而可得函数f（x）的解析式；
（2）由0＜α＜

π

2

⇒-

π

6

＜α-

π

6

＜

π

3

，又f（

α

2

）=

11

5

⇒sin（α-

π

6

）=

3

5

＞0，从而得0＜α-

π

6

＜

π

3

，利用两角和的正弦sinα=sin[（α-

π

6

）+

π

6

）]即可求得答案．

解答：解：（1）∵函数f（x）的最大值为3，
∴A+1=3，即A=2；
∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为

π

2

，
∴最小正周期T=π，
∴ω=2，
∴函数f（x）的解析式为：y=2sin（2x-

π

6

）+1；
（2）∵f（

α

2

）=2sin（α-

π

6

）+1=

11

5

，即sin（α-

π

6

）=

3

5

＞0，
∵0＜α＜

π

2

，
∴-

π

6

＜α-

π

6

＜

π

3

，sin（α-

π

6

）=

3

5

＞0，
∴0＜α-

π

6

＜

π

3

，
∴cos（α-

π

6

）=

4

5

，
∴sinα=sin[（α-

π

6

）+

π

6

）]=sin（α-

π

6

）cos

π

6

+cos（α-

π

6

）sin

π

6

=

3

5

•

3

2

+

4

5

•

1

2

=

4+3 3

10

．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查两角和与差的正弦函数，求得0＜α-

π

6

＜

π

3

是关键，属于中档题．