Question

（本题满分14分）

已知二次函数+的图象通过原点，对称轴为，.是的导函数，且 .

（1）求的表达式（含有字母）；

（2）若数列满足，且，求数列的通项公式；

（3）在（2）条件下，若，，是否存在自然数,使得当时恒成立?若存在,求出最小的；若不存在,说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）。

【解析】

试题分析：（I）由已知，可得，，        …… 1分

∴解之得，       ……3分

               …… 4分

（II）                     …… 5分

=       …… 8分（III）

                    …… 10分

     （1）

     （2）

（1）—（2）得：   … 12分

=，即,当时，  … 13分

，使得当时，恒成立        …… 14分

考点：二次函数的性质；数列通项公式的求法；用错位相减法求数列的前n项和。

点评：若已知递推公式为的形式求通项公式常用累加法。

注：①若是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;

②若是关于n的二次函数，累加后可分组求和;

③是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;

④是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。