Question

8．已知函数f（x）=2cos²$\frac{ωx}{2}$+cos（ωx+$\frac{π}{3}$），（其中ω＞0）的最小正周期为π，在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（A）=-$\frac{1}{2}$，c=3，△ABC的面积为6$\sqrt{3}$，则△ABC的外接圆面积为（　　）

• A． 45π
• B． 49π
• C． 3π
• D． $\frac{49π}{3}$

Answer 1

分析 先根据条件进行三角恒等变换，再运用余弦等定理，面积公式，正弦定理解三角形，最后求外接圆的面积．

解答 解：根据题意得f（x）=1+cosωx+$\frac{1}{2}$cosωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx=1+$\frac{3}{2}$cosωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx=1-$\sqrt{3}$sin（ωx-$\frac{π}{3}$），
∵函数f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，∴$\frac{2π}{ω}$=π，解得ω=2，
∴f（x）=1-$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$），
f（A）=1-$\sqrt{3}$sin（2A-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，即sin（2A-$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴2A-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，即A=$\frac{π}{3}$或$\frac{π}{2}$，
∵△ABC为锐角三角形，∴A=$\frac{π}{3}$，
∵c=3，S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×3b×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6$\sqrt{3}$，解得b=8，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=64+9-24=49，解得a=7，
再根据正弦定理，2R=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{14}{\sqrt{3}}$，所以，R=$\frac{7}{\sqrt{3}}$，
所以，三角形外接圆的面积为：$\frac{49π}{3}$，
故选：D．

点评 本题主要考查了运用正弦定理，余弦定理解三角形，涉及三角恒等变换，面积公式，三角函数的图象和性质，属于中档题．