题目内容
5．已知函数f（x）=x2+x，正项数列{an}前n项和为Sn，且点（an，2Sn）（n∈N*）在f（x）的图象上．（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=（-1）nan（n∈N*），求{bn}的前n项和．
分析 （1）点（an，2Sn）（n∈N*）在f（x）的图象上，可得2Sn=${a}_{n}^{2}$+an，利用递推关系与等差数列的通项公式即可得出．
（2）bn=（-1）nan=（-1）nn，对n分类讨论即可得出．
解答 解：（1）∵点（an，2Sn）（n∈N*）在f（x）的图象上．
∴2Sn=${a}_{n}^{2}$+an，
∴当n=1时，2a1=${a}_{1}^{2}+{a}_{1}$，又a1＞0，解得a1=1．
当n≥2时，2Sn-1=${a}_{n-1}^{2}+{a}_{n-1}$，
相减可得：2an=${a}_{n}^{2}$+an-（${a}_{n-1}^{2}+{a}_{n-1}$），
化为：（an+an-1）（an-an-1-1）=0，
∵数列{an}是正项数列，
∴an+an-1＞0，
可得an-an-1=1，
∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1，
∴an=1+（n-1）=n．
（2）bn=（-1）nan=（-1）nn，
∴当n=2k（k∈N*）时，{bn}前n项和An=A2k=（-1+2）+（-3+4）+…+[-（n-1）+n]
=1+1+…+1=k=$\frac{n}{2}$．
当n=2k-1时，{bn}前n项和An=${A}_{2k-2}+（-1）^{2k-1}（2k-1）$=$\frac{n-1}{2}$-n=-$\frac{n+1}{2}$，当n=1时也成立．
综上可得：An=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{2}，n=2k}\\{-\frac{n+1}{2}，n=2k-1}\end{array}\right.$（k∈N*）．
点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
