Question

【题目】等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知a2=2，S5=15，数列{bn}，b1=1，对任意n∈N+满足bn+1=2bn+1．
（1）数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）设cn= ，设数列{cn}的前n项和Tn ， 证明：Tn＜2．

Answer 1

【答案】
（1）解：设等差数列{an}的公差为d，由a2=2，S5=15，得 ，解得a1=d=1，

∴an=1+（n﹣1）=n．

∵对任意n∈N+满足bn+1=2bn+1．∴bn+1+1=2（bn+1），

∴数列{bn+1}为等比数列，公比为2．

∴ ，∴ ．

（2）证明：cn= = ，

则数列{cn}的前n项和 ，

∴ ，

两式相减得， = +…+ ﹣ = ﹣ ，

∴

【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由a2=2，S5=15，得 ，解得a1 ， d即可得出an ． 对任意n∈N+满足bn+1=2bn+1．变形为bn+1+1=2（bn+1），利用等比数列的通项公式即可得出bn ． （2）cn= = ，利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．
【考点精析】关于本题考查的数列的前n项和和数列的通项公式，需要了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能得出正确答案．