Question

4．过原点作两条不同的直线l₁和l₂分别与圆x²+y²-2x=0相交于两点A，B，
（1）若直线l₁和l₂的斜率分别为k和$\frac{1}{k}$（k＞0），求证：|OA|²+|OB|²为定值；
（2）若|OA|•|OB|=λ（λ为正常数），试问：不论A，B两点的位置如何变化，直线AB总能与一个定圆相切吗？若能，求出次定圆方程，若不能，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设直线l₁方程为y=kx，则圆心到直线的距离为d=$\frac{k}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，|OA|²=（2$\sqrt{1-\frac{{k}^{2}}{{k}^{2}+1}}$）²=$\frac{4}{{k}^{2}+1}$，以$\frac{1}{k}$代替k，可得|OB|²=$\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}+1}$，即可证明结论；
（2）设AB边上的高为h，则△AOB的面积S=$\frac{1}{2}$|AB|•h，再利用S=$\frac{1}{2}$|OA|•|OB|•sin∠AOB，即可得到结论．

解答 （1）证明：圆x²+y²-2x=0可化为（x-1）²+y²=1，
设直线l₁方程为y=kx，则圆心到直线的距离为d=$\frac{k}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，∴|OA|²=（2$\sqrt{1-\frac{{k}^{2}}{{k}^{2}+1}}$）²=$\frac{4}{{k}^{2}+1}$，
以$\frac{1}{k}$代替k，可得|OB|²=$\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}+1}$，
∴|OA|²+|OB|²=4；
（2）解：由题意，圆（x-1）²+y²=1是△AOB 的外接圆，半径为1，
根据正弦定理：|AB|=2Rsin∠AOB=2sin∠AOB
设AB边上的高为h，则△AOB的面积S=$\frac{1}{2}$|AB|•h=h•sin∠AOB
∵S=$\frac{1}{2}$|OA|•|OB|•sin∠AOB=$\frac{1}{2}λ$sin∠AOB
∴h=$\frac{λ}{2}$为定值
即O到AB的距离为定值$\frac{λ}{2}$
∴直线AB与以原点为圆心，$\frac{λ}{2}$为半径的圆相切，圆的方程为x²+y²=$\frac{{λ}^{2}}{4}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于中档题．