Question

【题目】设F1 ， F2分别是椭圆 =1的左、右焦点．
（1）若M是该椭圆上的一点，且∠F1MF2=120°，求△F1MF2的面积；
（2）若P是该椭圆上的一个动点，求 的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由椭圆标准方程： =1，a=2，b=1，c2=a2﹣b2=3，

∴F1（﹣ ，0），F2（ ，0），

∴丨F1F2丨=2 ，又M是该椭圆上的一点，

∴丨MF1丨+丨MF2丨=2a=4，

∵∠F1MF2=120°，

∴在△F1MF2中，由余弦定理可知：丨F1F2丨=丨MF1丨2+丨MF2丨2﹣2丨MF1丨丨MF2丨cos∠F1MF2，

∴（2 ）2=4﹣丨MF1丨丨MF2丨，解得：丨MF1丨丨MF2丨=4，

∴△F1MF2的面积为S= ×丨MF1丨丨MF2丨×sin∠F1MF2= ×4× = ，

△F1MF2的面积 ；

（2）解：设P （x，y），（﹣2≤x≤2）， =（﹣ ﹣x，﹣y）， =（ ﹣x，﹣y），

则 =（﹣ ﹣x，﹣y）（ ﹣x，﹣y）=x2+y2﹣3=x2+1﹣ ﹣3= （3x2﹣8），

∵﹣2≤x≤2，

∴当x=0，即点P为椭圆短轴端点时， 有最小值﹣2；

当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时， 有最大值1．

【解析】（1）由由椭圆标准方程： =1，a=2，b=1，c2=a2﹣b2=3，求得F1（﹣ ，0），F2（ ，0），丨F1F2丨=2 ，由椭圆的定义可知：丨MF1丨+丨MF2丨=2a=4，由余弦定理可知：丨F1F2丨=丨MF1丨2+丨MF2丨2﹣2丨MF1丨丨MF2丨cos∠F1MF2 ， 代入即可求得丨MF1丨丨MF2丨=4，由三角形的面积公式可知S= ×丨MF1丨丨MF2丨×sin∠F1MF2 ， 即可求得△F1MF2的面积；（2）由（1）可知F1（﹣ ，0），F2（ ，0），设P （x，y），（﹣2≤x≤2），则 =（﹣ ﹣x，﹣y）， =（ ﹣x，﹣y），根据向量数量积的坐标表示， = （3x2﹣8），由x的取值范围，当x=0， 有最小值﹣2； 当x=±2， 有最大值1．