题目内容

已知函数(其中为自然对数的底数).
(1)求函数的单调区间;
(2)定义:若函数在区间上的取值范围为,则称区间为函数的“域同区间”.试问函数上是否存在“域同区间”?若存在,求出所有符合条件的“域同区间”;若不存在,请说明理由.

(1)单调递增区间为,单调递减区间为;(2)详见解析.

解析试题分析:(1)先求出函数的定义域与导数,求出极值点,解有关导数的不等式,从而确定函数的单调增区间和减区间;(2)结合(1)中的结论可知,函数在区间上单调递增,根据定义得到,问题转化为求方程在区间上的实数根,结合导数来讨论方程在区间上的实根的个数,从而确定函数在区间上是否存在“域同区间”.
试题解析:(1),定义域为

,即,解得;令,即,解得
故函数的单调递增区间为,单调递减区间为
(2)由(1)知,函数在区间上是单调递增函数,
假设函数在区间上存在“域同区间”,则有
则方程在区间上有两个相异实根,
构造新函数,定义域为

,则
时,,则恒成立,
因此函数在区间上单调递增,
故函数在区间上存在唯一零点,则有
时,;当时,
故函数在区间上是单调递减函数,在区间上是单调递增函数,
因为
所以函数在区间有且只有一个零点,
这与方程有两个大于的实根相矛盾,所以假设不成立!
所以函数在区间

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