题目内容
如图,斜三棱柱ABC-A'B'C'中,底面是边长为a的正三角形,侧棱长为b,侧棱AA'与底面相邻两边AB,AC都成45°角.
(Ⅰ)求此斜三棱柱的表面积.
(Ⅱ)求三棱锥B'-ABC的体积.
(Ⅰ)求此斜三棱柱的表面积.
(Ⅱ)求三棱锥B'-ABC的体积.
（1）(
+1)ab+
a2；（2）
.
+1)ab+a2；（2）.试题分析：（1）要求表面积，最难求的是面
的面积，要分析它的特征，如图，过A'作A'D⊥平面ABC于点D,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,连接A'E,A'F,AD.由题意可知∠A'AE=∠A'AF=45°,AA'=AA',于是Rt△A'AE≌Rt△A'AF.，因此A'E=A'F,从而可得DE=DF.故AD平分∠BAC,又∵AB=AC,∴BC⊥AD.故BC⊥AA'.∵AA'∥BB',∴BC⊥BB'.因此四边形BCC'B'是矩形,故斜三棱柱的侧面积为2×a×bsin45°+ab=(+1)ab.又∵斜三棱柱的底面积为2×
a2=a2,∴斜三棱柱的表面积为(+1)ab+a2.（2）求B'-ABC的体积，要求出底面ABC的面积
，高
的求解根据
，
，
，所以
.试题解析：
（1）如图，过A'作A'D⊥平面ABC于点D,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,连接A'E,A'F,AD.
由题意可知∠A'AE=∠A'AF=45°,AA'=AA',于是Rt△A'AE≌Rt△A'AF.
因此A'E=A'F,从而可得DE=DF.故AD平分∠BAC,
又∵AB=AC,∴BC⊥AD.故BC⊥AA'.∵AA'∥BB',∴BC⊥BB'.因此四边形BCC'B'是矩形,故斜三棱柱的侧面积为2×a×bsin45°+ab=(
+1)ab.又∵斜三棱柱的底面积为2×
a2=a2,∴斜三棱柱的表面积为(+1)ab+a2.（2）由（1）
，，，所以
.
练习册系列答案
相关题目
的底面是正方形，
底面
，
，
，点
、
分别为棱
、
的中点.
平面
；
平面
；
的体积.
中，
是边长为
的正三角形，平面
⊥平面
，
，
、
分别为
、
的中点．
⊥
的体积. 
是边长为2的正方形，
⊥平面
,
//
且
.
⊥平面
；
的体积. 
种侧棱垂直于底面，
，
，
，且三棱柱
的面对角线
上存在一点P使得
最短，则
的最小值 ．
绕直线
旋转一周所得的几何体的体积为（ ）
中，
分别是
的中点，设三棱锥
的体积为
，三棱柱
，则
.