题目内容
给定圆P:x2+y2=2x及抛物线S:y2=4x,过圆心P作直线l,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为A、B、C、D,如果线段AB、BC、CD的长按此顺序构成一个等差数列,求直线l的方程.![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124428475978215/SYS201310251244284759782019_ST/images0.png)
【答案】分析:先确定圆P的标准方程,求出圆心与直径长,设出l的方程,代入抛物线方程,求出|AD|,利用线段AB、BC、CD的长按此顺序构成一个等差数列,可得|AD|=3|BC|,求出k的值,由此可求直线l的方程.
解答:
解:圆P的方程为(x-1)2+y2=1,则其直径长|BC|=2,圆心为P(1,0),
设l的方程为ky=x-1,即x=ky+1,代入抛物线方程得:y2=4ky+4,
设A(x1,y1),D(x2,y2),
有
,…(2分)
则
.…(4分)
故![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124428475978215/SYS201310251244284759782019_DA/2.png)
=
,…(7分)
因此|AD|=4(k2+1).…(8分)
因为线段AB、BC、CD的长按此顺序构成一个等差数列,…(10分)
所以|AD|=3|BC|,即4(k2+1)=6
∴k=±
…(12分)
∴l方程为
或
.…(14分)
点评:本题考查直线与圆、抛物线的位置关系,考查等差数列,考查学生的计算能力,确定|AD|是关键.
解答:
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124428475978215/SYS201310251244284759782019_DA/images0.png)
设l的方程为ky=x-1,即x=ky+1,代入抛物线方程得:y2=4ky+4,
设A(x1,y1),D(x2,y2),
有
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124428475978215/SYS201310251244284759782019_DA/0.png)
则
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124428475978215/SYS201310251244284759782019_DA/1.png)
故
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124428475978215/SYS201310251244284759782019_DA/2.png)
=
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124428475978215/SYS201310251244284759782019_DA/3.png)
因此|AD|=4(k2+1).…(8分)
因为线段AB、BC、CD的长按此顺序构成一个等差数列,…(10分)
所以|AD|=3|BC|,即4(k2+1)=6
∴k=±
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124428475978215/SYS201310251244284759782019_DA/4.png)
∴l方程为
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124428475978215/SYS201310251244284759782019_DA/5.png)
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124428475978215/SYS201310251244284759782019_DA/6.png)
点评:本题考查直线与圆、抛物线的位置关系,考查等差数列,考查学生的计算能力,确定|AD|是关键.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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