Question

给定圆C：x²+y²=4，过点P（1，0）作两条互相垂直的直线与C分别交于A、B和M，N，则+的最大值是    ．

Answer 1

【答案】分析：由圆C的方程找出圆心C的坐标和半径r，设出直线AB的斜率为k，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，得到直线MN的斜率为-，由两直线都过P点，进而分别表示出两直线的方程，利用点到直线的距离公式分别求出圆心到两直线的距离d₁和d₂，由垂径定理得到垂足为中点，由弦心距，半径，利用勾股定理求出弦的一半，进而表示出|AB|和|MN|，得出|AB|²+|MN|²的值为定值，再表示出|MN|•|AB|，变形后求出|MN|•|AB|的最小值，把所求的式子通分后，将求出的|AB|²+|MN|²的值及|MN|•|AB|的最小值代入，即可求出所求式子的最大值．
解答：解：由圆的方程x²+y²=4，得到圆心坐标为（0，0），半径r=2，
设直线AB的方程为：y=k（x-1），即kx-y-k=0，
则直线MN的方程为：y=-（x-1），即x+ky-1=0，
∴圆心到直线AB的距离d₁=，到直线MN的距离d₂=，
∴|AB|=2=2，|MN|=2=2，
∵|MN|•|AB|=4
=4=4≥4=8，
∴（|MN|•|AB|）_min=8，
∵|AB|²+|MN|²=4（+）==28，
∴+==，
当（|MN|•|AB|）_min=8时，
则（+）_max==．
故答案为：
点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，两直线垂直时斜率满足的关系，直线的一般式方程，以及圆的标准方程，其中得出|AB|²+|MN|²的值为定值，同时求出|MN|•|AB|的最小值是解本题的关键．