Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的左焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，

AF

=2

FB

．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）如果|AB|=

15

4

，求椭圆C的方程．

Answer 1

分析：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意知y₁＞0，y₂＜0．直线l的方程为  y=

3

(x-c)，代入椭圆方程消掉x得y的二次方程，解出两根y₁，y₂，由

AF

=2

FB

，得-y₁=2y₂．代入得a，b，c的关系式，化简可得

c

a

，即离心率；
（2）利用弦长公式：|AB|=

1+ 1 k2

|y1-y2|=

1+ 1 k2

•

(y1+y2)2-4y1y2

及韦达定理可表示出弦长，令其等于

15

4

可得a，b方程，再由

c

a

=

2

3

即可求得a，b值；

解答：解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意知y₁＞0，y₂＜0．
直线l的方程为  y=

3

(x-c)，其中c=

a2-b2

．
联立

y= 3 (x-c) x2 a2 + y2 b2 =1

得(3a2+b2)y2+2

3

b2cy-3b4=0，
解得y1=

- 3 b2(c+2a)

3a2+b2

，y2=

- 3 b2(c-2a)

3a2+b2

，
因为

AF

=2

FB

，所以-y₁=2y₂．即 

3 b2(c+2a)

3a2+b2

=2•

- 3 b2(c-2a)

3a2+b2

，
所以3c=2a，得离心率 e=

c

a

=

2

3

．
（2）由（1）知c=

2

3

a，
则|AB|=

1+ 1 3

|y2-y1|=

2 3

3

(y1+y2)2-4y1y2

=

2 3

3

( -2 3 b2c 3a2+b2 )2+ 4×3b4 3a2+b2

2 3

3

•

4 3 ab2

3a2+b2

，
所以

2

3

•

4 3 ab2

3a2+b2

=

15

4

．
再由

c

a

=

2

3

得b=

5

3

a．
所以

5

4

a=

15

4

，得a=3，b=

5

．
椭圆C的方程为

x2

9

+

y2

5

=1．

点评：本题考查椭圆方程的求解、直线与圆锥曲线的位置关系，考查学生的运算能力，韦达定理及弦长公式是解决该类问题常用知识，应熟练掌握．