题目内容

【题目】在平面直角坐标系中，已知曲线上的动点到点的距离与到直线的距离相等．

（1）求曲线的轨迹方程；

（2）过点分别作射线、交曲线于不同的两点、，且以为直径的圆经过点．试探究直线是否过定点？如果是，请求出该定点；如果不是，请说明理由．

【答案】（1）；（2）过定点.

【解析】

（1）根据题意得到，化简求得曲线的轨迹方程.

（2）设直线的方程为，联立直线的的方程和曲线的方程，写出韦达定理，由于以为直径的圆过点，所以，利用向量数量积的坐标运算进行化简，由此求得的关系式，进而求得直线所过定点.

（1）设，依题意，即，两边平方并化简得.所以曲线的轨迹方程为

（2）直线经过定点.理由如下：

依题意的斜率不为零，所以设直线的方程为， 由消去得，.设，则.由于以为直径的圆过点，所以，即，化简得，由于，所以，所以依题意，直线不经过，所以，所以，将其代入得，即直线过定点.

综上所述，直线经过定点.

练习册系列答案
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组号

分组

回答正确的人数

回答正确的人数占本组的频率

第1组

[15,25)

a

0.5

第2组

[25,35)

18

x

第3组

[35,45)

b

0.9

第4组

[45,55)

9

0.36

第5组

[55,65]

3

y

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-2

-1

0

1

2

3

4

5

0

2

3

2

0

-1

0

2

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