题目内容
设抛物线
的方程为
，
为直线
上任意一点，过点
作抛物线的两条切线
，切点分别为
,
.
（1）当的坐标为
时，求过
三点的圆的方程，并判断直线
与此圆的位置关系；
（2）求证：直线
恒过定点
.
设抛物线
的方程为
，
为直线
上任意一点，过点
作抛物线的两条切线
，切点分别为
,
.
（1）当的坐标为
时，求过
三点的圆的方程，并判断直线
与此圆的位置关系；
（2）求证：直线
恒过定点
；
解：(1)当的坐标为时，设过点的切线方程为
，代入，整理得
，
令
，解得
，
代入方程得
，故得
， ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
因为到的中点
的距离为
，
从而过三点的圆的方程为
．
易知此圆与直线
相切.
．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）证法一：设切点分别为
,
,过抛物线上点的切线方程为
，代入，整理得
，又因为
，所以
．．．．．．．．．．．．．．．．6分
从而过抛物线上点的切线方程为
即
又切线过点，所以得
① 即
．．．．8分
同理可得过点的切线为
，
又切线过点，所以得
② ．．．．10分
即
．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
即点，均满足
即
，故直线的方程为 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
又为直线上任意一点，故
对任意
成立，所以
，从而直线恒过定点 .．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
证法二：设过的抛物线的切线方程为
，代入，消去
，得
即：
．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
从而
，
此时
，
所以切点
的坐标分别为
，
．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
因为
，
，
，
所以的中点坐标为
.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
故直线的方程为
，即.．．．．．．．．．．12分
又为直线上任意一点，故对任意成立，所以，从而直线恒过定点 .．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
证法三：由已知得
，求导得
，切点分别为,，故过点的切线斜率为，从而切线方程为
即
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
又切线过点，所以得
① 即．．．．．．．．８分
同理可得过点的切线为，
又切线过点，所以得
② 即．．．．．．．．10分
即点，均满足即，故直线的方程为
．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
又为直线上任意一点，故对任意成立，所以，从而直线恒过定点 .．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
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（2013•浙江模拟）如图，已知抛物线的方程为x2=2py（p＞0），过点A（0，-1）作直线与抛物线相交于P，Q两点，点B的坐标为（0，1），连接BP，BQ，设QB，BP与x轴分别相交于M，N两点．如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为-3，则∠MBN的大小等于（ ）
的方程为
，
为直线
上任意一点，过点
，切点分别为
,
.
时，求过
三点的圆的方程，并判断直线
与此圆的位置关系；
恒过定点；
变化时，试探究直线
为直角三角形，若存在，有几个这样的点，若不存在，说明理由.
的方程为
，
为直线
上任意一点，过点
作抛物线
，切点分别为
,
.
时，求过
三点的圆的方程，并判断直线
与此圆的位置关系；
恒过定点
.
的方程为
，
为直线
上任意一点，过点
，切点分别为
,
.
时，求过
三点的圆的方程，并判断直线
与此圆的位置关系； 
恒过定点；
变化时，试探究直线
为直角三角形，若存在，有几个这样的点，若不存在，说明理由.