题目内容
（2013•浙江模拟）如图，已知抛物线的方程为x2=2py（p＞0），过点A（0，-1）作直线与抛物线相交于P，Q两点，点B的坐标为（0，1），连接BP，BQ，设QB，BP与x轴分别相交于M，N两点．如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为-3，则∠MBN的大小等于（ ）分析：设直线PQ的方程为：y=kx-1，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线PQ方程与抛物线方程消掉y得x的二次方程，根据韦达定理及斜率公式可求得kBP+kBQ=0，再由已知kBP•kBQ=-3可解得kBP=
，kBQ=-
，由此可知∠BNM与∠BMN的大小，由三角形内角和定理可得∠MBN．
| 3 |
| 3 |
解答：解：设直线PQ的方程为：y=kx-1，P（x1，y1），Q（x2，y2），
由
得x2-2pkx+2p=0，△＞0，
则x1+x2=2pk，x1x2=2p，
kBP=
，kBQ=
，
kBP+kBQ=
+
=
+
=
=
=0，即kBP+kBQ=0①
又kBP•kBQ=-3②，
联立①②解得kBP=
，kBQ=-
，
所以∠BNM=
，∠BMN=
，
故∠MBN=π-∠BNM-∠BMN=
，
故选D．
由
|
则x1+x2=2pk，x1x2=2p，
kBP=
| y1-1 |
| x1 |
| y2-1 |
| x2 |
kBP+kBQ=
| y1-1 |
| x1 |
| y2-1 |
| x2 |
| kx1-2 |
| x1 |
| kx2-2 |
| x2 |
=
| 2kx1x2-2(x1+x2) |
| x1x2 |
| 2k•2p-2•2pk |
| 2p |
又kBP•kBQ=-3②，
联立①②解得kBP=
| 3 |
| 3 |
所以∠BNM=
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
故∠MBN=π-∠BNM-∠BMN=
| π |
| 3 |
故选D．
点评：本题考查直线、抛物线方程及其位置关系等知识，解决本题的关键是通过计算发现直线BP、BQ斜率互为相反数．
练习册系列答案
第1卷单元月考期中期末系列答案
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