题目内容
数列{an}(n∈N﹡)中,a1=0,当3an<n2时,an+1=n2,当3an>n2时,an+1=3an.求a2,a3,a4,a5,猜测数列的通项an并证明你的结论.
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【解析】
试题分析:先由递推公式分别求出的值,猜测数列的通项,再用数学归纳法证明即可.
试题解析:当时,,则,知,因为,由数列定义知.因为,由数列定义知.又因为,由定义知
4分
由此猜测:当n≥3时, 6分
下面用数学归纳法去证明:当n≥3时,3an>n2.当n=3时,由前面的讨论知结论成立.假设当n=k(k≥3)时,成立.则由数列定义知,从而.所以,即当n=k+1(k≥3)时,成立. 故当n≥3时,.而.因此. 11分
综上所述,当时,,,( n≥3) 13分
考点:推理与证明、数学归纳法.
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