题目内容

已知p(p≥2)是给定的某个正整数,数列{an}满足:a1=1,(k+1)ak+1=p(k-p)ak,其中k=1,2,3,…,p-1.
(I)设p=4,求a2,a3,a4
(II)求a1+a2+a3+…+ap
分析:(I)设p=4,利用(k+1)ak+1=p(k-p)ak,求出
ak+1
ak
=p×
k-p
k+1
,通过k=1,2,3求a2,a3,a4
(II)利用
ak+1
ak
=p×
k-p
k+1
列出
a2
a1
a3
a2
,…
ak
ak-1
的表达式通过连乘求出ak,然后通过二项式定理求解求a1+a2+a3+…+ap
解答:解:(Ⅰ)由(k+1)ak+1=p(k-p)ak
ak+1
ak
=p×
k-p
k+1
,k=1,2,3,…,p-1
a2
a1
=-4×
4-1
2
=-6
,a2=-6a1=-6;
a3
a2
=-4×
4-2
3
=-
8
3
,a3=16,
a4
a3
=-4×
4-3
4
=-1
,a4=-16; (3分)
(Ⅱ)由(k+1)ak+1=p(k-p)ak
得:
ak+1
ak
=p×
k-p
k+1
,k=1,2,3,…,p-1
a2
a1
=-p×
p-1
2
a3
a2
=-p×
p-2
3
,…,
ak
ak-1
=-p×
p-(k-1)
k

以上各式相乘得
ak
a1
=(-p)k-1×
(p-1)(p-2)(p-3)…(p-k+1)
k!
 (5分)
ak=(-p)k-1×
(p-1)(p-2)(p-3)…(p-k+1)
k!

=(-p)k-1×
(p-1)!
k!(p-k)!
=
(-p)k-1
p
×
p!
k!(p-k)!

=-(-p)k-2×
C
k
p
=-
1
p2
C
k
p
(-p)k
,k=1,2,3,…,p (7分)
∴a1+a2+a3+…+ap=-
1
p2
[
C
1
p
(-p)1+
C
2
p
(-p)2+
C
3
p
(-p)3+…+
C
p
p
(-p)p]
=-
1
p2
[(1-p)p-1]
 (10分)
点评:本题考查数列的应用,数列的项的求法,通项公式的求法,二项式定理的应用,考查转化思想计算能力.
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