题目内容
已知p(p≥2)是给定的某个正整数,数列{an}满足:a1=1,(k+1)ak+1=p(k-p)ak,其中k=1,2,3,…,p-1.
(I)设p=4,求a2,a3,a4;
(II)求a1+a2+a3+…+ap.
(I)设p=4,求a2,a3,a4;
(II)求a1+a2+a3+…+ap.
分析:(I)设p=4,利用(k+1)ak+1=p(k-p)ak,求出
=p×
,通过k=1,2,3求a2,a3,a4;
(II)利用
=p×
列出
,
,…
的表达式通过连乘求出ak,然后通过二项式定理求解求a1+a2+a3+…+ap.
ak+1 |
ak |
k-p |
k+1 |
(II)利用
ak+1 |
ak |
k-p |
k+1 |
a2 |
a1 |
a3 |
a2 |
ak |
ak-1 |
解答:解:(Ⅰ)由(k+1)ak+1=p(k-p)ak得
=p×
,k=1,2,3,…,p-1
即
=-4×
=-6,a2=-6a1=-6;
=-4×
=-
,a3=16,
=-4×
=-1,a4=-16; (3分)
(Ⅱ)由(k+1)ak+1=p(k-p)ak
得:
=p×
,k=1,2,3,…,p-1
即
=-p×
,
=-p×
,…,
=-p×
,
以上各式相乘得
=(-p)k-1×
(5分)
∴ak=(-p)k-1×
=(-p)k-1×
=
×
=-(-p)k-2×
=-
(-p)k,k=1,2,3,…,p (7分)
∴a1+a2+a3+…+ap=-
[
(-p)1+
(-p)2+
(-p)3+…+
(-p)p]=-
[(1-p)p-1] (10分)
ak+1 |
ak |
k-p |
k+1 |
即
a2 |
a1 |
4-1 |
2 |
a3 |
a2 |
4-2 |
3 |
8 |
3 |
a4 |
a3 |
4-3 |
4 |
(Ⅱ)由(k+1)ak+1=p(k-p)ak
得:
ak+1 |
ak |
k-p |
k+1 |
即
a2 |
a1 |
p-1 |
2 |
a3 |
a2 |
p-2 |
3 |
ak |
ak-1 |
p-(k-1) |
k |
以上各式相乘得
ak |
a1 |
(p-1)(p-2)(p-3)…(p-k+1) |
k! |
∴ak=(-p)k-1×
(p-1)(p-2)(p-3)…(p-k+1) |
k! |
=(-p)k-1×
(p-1)! |
k!(p-k)! |
(-p)k-1 |
p |
p! |
k!(p-k)! |
=-(-p)k-2×
C | k p |
1 |
p2 |
C | k p |
∴a1+a2+a3+…+ap=-
1 |
p2 |
C | 1 p |
C | 2 p |
C | 3 p |
C | p p |
1 |
p2 |
点评:本题考查数列的应用,数列的项的求法,通项公式的求法,二项式定理的应用,考查转化思想计算能力.

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