题目内容
已知几何体A-BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．
（1）求此几何体的体积V的大小；
（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值．
（1）求此几何体的体积V的大小；
（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值．
（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，
∴S梯形BCED=
×(4+1)×4=10
∴即该几何体的体积V=
•S梯形BCED•AC=
×10×4=
．（5分）
（2）解法1：过点B作BF∥ED交EC于F，连接AF，
则∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．（7分）
在△BAF中，∵AB=4
，BF=AF═
=5．
∴cos∠ABF=
=
．
即异面直线DE与AB所成的角的余弦值为
．（12分）
解法2：
以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．（6分）
则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）
∴
=(0，-4，3)，
=(-4，4，0)，（8分）
∴cos＜
，
＞=-
∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为
．（12分）
∴S梯形BCED=
| 1 |
| 2 |
∴即该几何体的体积V=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 40 |
| 3 |
（2）解法1：过点B作BF∥ED交EC于F，连接AF，
则∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．（7分）
在△BAF中，∵AB=4
| 2 |
| 16+9 |
∴cos∠ABF=
| BF2+AB2-AF2 |
| 2BF•AB |
2
| ||
| 5 |
即异面直线DE与AB所成的角的余弦值为
2
| ||
| 5 |
解法2：
以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．（6分）
则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）
∴
| DE |
| AB |
∴cos＜
| DE |
| AB |
2
| ||
| 5 |
∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为
2
| ||
| 5 |
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