Question

13．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：2x-y-4=0，设圆C的半径为1，圆心在直线l上．
（1）若圆心C也在直线2x-3y=0上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若圆C与圆D：x²+y²+2y-3=0有公共点，求圆心C的横坐标a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）联立直线l与直线y=x-1解析式，求出方程组的解得到圆心C坐标，根据A坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出切线方程即可；
（2）求出圆D：x²+y²+2y-3=0的圆心与半径，利用圆心距与半径和与差的关系，列出不等式，即可求出圆心C的横坐标a的取值范围．

解答 解：（1）联立得：$\left\{\begin{array}{l}2x-y-4=0\\ 2x-3y=0\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=2\end{array}\right.$，
∴圆心C（3，2）．
若k不存在，不合题意；
若k存在，设切线为：y=kx+3，可得圆心到切线的距离d=r，即$\frac{|3k+3-2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
解得：k=0或k=-$\frac{3}{4}$，
则所求切线为y=3或y=-$\frac{3}{4}$x+3；
（2）圆D：x²+y²+2y-3=0的圆心（0，-1），半径为：2．
圆C的半径为1，圆心在直线l：2x-y-4=0上，可得圆心（a，2a-4）．
圆C与圆D：x²+y²+2y-3=0有公共点，可得1≤$\sqrt{（a-0）^{2}+（2a-4+1）^{2}}≤3$，
解得0≤a≤$\frac{12}{5}$．
圆心C的横坐标a的取值范围：[0，$\frac{12}{5}$]．

点评 此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题．