题目内容

在一个特定时段内,以点E为中心的7n mile以内海域被设为警戒水域.点E正北55n mile处有一个雷达观测站A,某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40 n mile的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东 (其中)且与点A相距10n mile的位置C.

(I)求该船的行驶速度(单位:n mile /h);
(II)若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.
(I)船的行驶速度为(海里/小时).(II)船会进入警戒水域.

试题分析:(I)根据同角三角函数的基本关系式求出,然后利用余弦定理求出BC的值,从而可求出船的行驶速度.
(II)判断船是否会进入警戒水域,关键是看点E到直线l的距离与半径7的关系,因而可求出直线l的方程,以及E点坐标,然后再根据点到直线的距离公式得到结论.
(I)如图,AB=40,AC=10
由于,所以cos=
由余弦定理得BC=
所以船的行驶速度为(海里/小时).
(II)解法一  如图所示,以A为原点建立平面直角坐标系,

设点B、C的坐标分别是B(x1,y2), C(x1,y2),
BC与x轴的交点为D.
由题设有,x1=y1= AB=40,
x2=ACcos,
y2=ACsin
所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40.
又点E(0,-55)到直线l的距离d=
所以船会进入警戒水域.
解法二: 如图所示,设直线AE与BC的延长线相交于点Q.
在△ABC中,由余弦定理得,
==.
从而
中,由正弦定理得,AQ=
由于AE=55>40=AQ,所以点Q位于点A和点E之间,且QE=AE-AQ=15.
过点E作EP BC于点P,则EP为点E到直线BC的距离.
在Rt中,PE=QE·sin
=所以船会进入警戒水域.
点评:掌握正余弦定理及能解决的三角形类型是解三角形的前提.第(II)问关键是知道如何判断船是否会进入警戒水域,实质是直线与圆的位置关系的判断.
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