Question

（2008•南京模拟）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A=

3 3 c d

，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α₁=

1 1

，属于特征值1的一个特征向量为α₂=

3 -2

．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．

Answer 1

分析：根据特征值的定义可知Aα=λα，利用待定系数法建立等式关系，从而可求矩阵A，再利用公式求逆矩阵．

解答：解：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α₁=

1 1

可得，

3 3 c d

1 1

=6

1 1

，即c+d=6；…（2分）
由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α₂=

3 -2

，可得

3 3 c d

3 -2

=

3 -2

，即3c-2d=-2，…（4分）
解得

c=2 d=4

即A=

3 3 2 4

，…（6分）
A的逆矩阵是

2 3 - 1 2 - 1 3 1 2

．…（8分）

点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题．