Question

【题目】已知幂函数f（x）＝（3m2﹣2m）x在（0，+∞）上单调递增，g（x）＝x2﹣4x+t．

（1）求实数m的值；

（2）当x∈[1，9]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）m＝1．（2）[﹣42，5]．

【解析】

（1）根据幂函数f（x）＝（3m2﹣2m）x在（0，+∞）上单调递增，则有3m2﹣2m＝1，且m0求解即可.

（2）由（1）可得：f（x）．利用幂函数的性质求其值域， g（x）＝x2﹣4x+t＝（x﹣2）2+t﹣4，利用二次函数的性质求其值域，根据p是命题q的充分不必要条件，利用集合法求解.

（1）因为函数f（x）是幂函数

∴3m2﹣2m＝1，

解得m＝1或m＝

又因为f（x）＝（3m2﹣2m）x在（0，+∞）上单调递增，

所以m0．

综上：m＝1．

（2）由（1）可得：f（x）．

当x∈[1，9]时，f（x）的值域为：[1，3]．即A＝ [1，3]

g（x）＝x2﹣4x+t＝（x﹣2）2+t﹣4．

可知：x＝2时，函数g（x）取得最小值，g（2）＝t﹣4．

又g（1）＝t﹣3，g（9）＝t+45＞t﹣3，

∴x＝9时函数g（x）取得最大值．

∴B＝[t﹣4，t+45]．

设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若命题p是命题q的充分不必要条件，

则，且等号不能同时成立．

∴﹣42≤t≤5．

∴实数t的取值范围是[﹣42，5]．