题目内容

已知实数x,y满足不等式组
x-2y+1≥0
|x|-y-1≤0
,则x2+y2-6x+9的取值范围是
[2,16]
[2,16]
分析:本题属于线性规划中的延伸题,对于可行域不要求线性目标函数的最值,而是求可行域内的点与点(3,0)构成的线段的长度问题,注意最后要平方.
解答:解:先根据约束条件画出可行域,
z=x2+y2-6x+9,
表示可行域内点到点D(3,0)距离的平方,
点D到直线x-y-1=0的距离是点D到区域内的最小值,
d=
|3-0+1|
12+(-1) 2
=
2

∴z=x2+y2-6x+9的最小值为 2;
点D到点A的距离是点D到区域内的最大值,此时d=4
∴z=x2+y2-6x+9的最大值为 16;
故答案为:[2,16].
点评:本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档题.巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础,纵观目标函数包括线性的与非线性,非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸,使得规划问题得以深化.
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