题目内容

已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=
3
x，两条准线间的距离为1，F1，F2是双曲线的左、右焦点．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M，N，点P为双曲线上异于M，N的一点，且直线PM，PN的斜率均存在，求kPM•kPN的值．
（Ⅰ）依题意，双曲线焦点在x轴上，
有：
b
a
=
3
2a2
c
=1
a2+b2=c2.

解得a2=1，b2=3．
∴双曲线方程为x2-
y2
3
=1．
（Ⅱ）设M（x0，y0），由双曲线的对称性，可得N（-x0，-y0）．
设P（xP，yP），
则kPM•kPN=
yP-y0
xP-x0
•
yP+y0
xP+x0
=
yP2-y02
xP2-x02
，
又x02-
y02
3
=1，
∴y02=3x02-3．
同理yP2=3xP2-3，
∴kPM•kPN=
3xP2-3-3x02+3
xP2-x02
=3．
练习册系列答案
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已知双曲线
x2
a2
-
y2
7
=1，直线l过其左焦点F1，交双曲线的左支于A、B两点，且|AB|=4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则此双曲线的离心率e=
 
．
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且该双曲线的离心率为
5
，则该双曲线的渐近线方程为（　　）
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(b＞a＞0)，O为坐标原点，离心率e=2，点M(
5
，
3
)在双曲线上．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线l与双曲线交于P，Q两点，且
OP
•
OQ
=0．问：
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
是否为定值？若是请求出该定值，若不是请说明理由．
（1）已知直线l：kx-y+1+2k=0（k∈R），则该直线过定点
（-2，1）
（-2，1）
；
（2）已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的一条渐近线方程为y=
4
3
x，则双曲线的离心率为
5
3
5
3
．
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）满足| 
a1
b
2
 |=0，且双曲线的右焦点与抛物线y2=4
3
x的焦点重合，则该双曲线的方程为
 
．

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