Question

已知等比数列{a_n}的公比q＞1，4是a₁和a₄的一个等比中项，a₂和a₃的等差中项为6，若数列{b_n}满足b_n=log₂a_n（n∈N*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由4是a₁和a₄的一个等比中项，a₂和a₃的等差中项为6，求出数列的首项和公比，可求得数列{a_n}、数列{b_n}的通项公式；
（2）把数列{a_n}、数列{b_n}的通项公式代入a_nb_n，利用错位相减法求得其前n项和S_n．
解答：解：（1）因为是a₁和a₄的一个等比中项，
所以．
由题意可得
在为q＞1，所以a₃＞a₂．
解得
所以．
故数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ．

（2）由于b_n=log₂a_n（n∈N^*），
所以b_n=n，a_nb_n=n•2ⁿ．S_n=1•2+2•2²+3•2³++（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ．①
2S_n=1•2²+2•2³++（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹．②
①-②得-S_n=1•2+2²+2³++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=．
所以S_n=2-2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺¹．
点评：考查等比数列求通项公式和等差、等比中项的概念即错位相减法求数列的前项和S_n，等差数列和等比数列之间的相互转化，属中档题．