Question

已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足：，则三棱锥P-ABC的侧面积的最大值为

1. A.
   2
2. B.
   1
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

A
分析：由已知，三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为的球面上，且满足：，则在P点处PA，PB，PC两两垂直，球直径等于以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线，由基本不等式易得到三棱锥P-ABC的侧面积的最大值．
解答：∵，
∴PA，PB，PC两两垂直，
又∵三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为1的球面上，
∴以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线即为球的一条直径．
∴4=PA²+PB²+PC²，
则由基本不等式可得PA²+PB²≥2PA•PB，PA²+PC²≥2PA•PC，PB²+PC²≥2PB•PC，
即4=PA²+PB²+PC²≥PA•PB+PB•PC+PA•PC
则三棱锥P-ABC的侧面积S=（PA•PB+PB•PC+PA•PC）≤2，
则三棱锥P-ABC的侧面积的最大值为2，
故选A
点评：本题考查的知识点是棱锥的侧面积，基本不等式，棱柱的外接球，其中根据已知条件，得到棱锥的外接球直径等于以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线，是解答本题的关键．