Question

设

i

，

j

是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的单位向量，且

AB

=4

i

+2

j

，

AC

=3

i

+4

j

，则△ABC面积的值等于

5

．

Answer 1

分析：由题意，

i

，

j

是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的单位向量，且

AB

=4

i

+2

j

，

AC

=3

i

+4

j

，可得

AB

=(4，2)，

AC

=(3，4)由三角形面积公式知，可先由公式cos∠BAC=

AB • AC

|AB | |AC |

 求出两向量夹角余弦，再求出sin∠BAC，代入面积公式S_△ABC=

1

2

|AB

|

|AC

|sin∠BAC，即可求出三角形的面积

解答：解：由题意知

AB

=(4，2)，

AC

=(3，4)
又cos∠BAC=

AB • AC

|AB | |AC |

=

20

20 × 25

=

2 5

5

，
∴sin∠BAC=

5

5

又S_△ABC=

1

2

|AB

|

|AC

|sin∠BAC=

1

2

×2

5

×5×

5

5

=5
故答案为5

点评：本题考查向量在几何中的应用，考查了向量坐标的定义，向量夹角的坐标表示，向量模的坐标表示，同角三角函数关系，三角形面积公式，解题的关键是熟练掌握三角形的面积公式S_△ABC=

1

2

|AB

|

|AC

|sin∠BAC，由公式确定出解题的方向先求出两向量的夹角．由题设条件得出两向量的坐标是本题的难点，理解向量坐标表示的定义是突破难点的关键．