Question

3．在△ABC中，AB=2AC=2，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-1，若$\overrightarrow{AO}$=x₁•$\overrightarrow{AB}$+x₂•$\overrightarrow{AC}$（O是△ABC的外心），则x₁+x₂的值为$\frac{13}{6}$．

Answer 1

分析 建立直角坐标系，求出三角形各顶点的坐标，因为O为△ABC的外心，把AB的中垂线 m方程和AC的中垂线 n的方程，联立方程组，求出O的坐标，利用已知向量间的关系，待定系数法求x₁和x₂ 的值．

解答 解：如图：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角系：则A（0，0），B （2，0），C（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

∵O为△ABC的外心，∴O在AB的中垂线m：x=1 上，又在AC的中垂线n 上．
∵AC的中点（-$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），AC的斜率为-$\sqrt{3}$，
∴中垂线n的方程为y-$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+$\frac{1}{4}$）．
把直线m和n 的方程联立方程组解得△ABC的外心O（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
由条件若$\overrightarrow{AO}$=x₁•$\overrightarrow{AB}$+x₂•$\overrightarrow{AC}$得：（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）=x₁（2，0）+x₂（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=（2x₁-$\frac{1}{2}$x₂，$\frac{\sqrt{3}}{2}$x₂ ），
∴2x₁-$\frac{1}{2}$x₂=1，且$\frac{\sqrt{3}}{2}$x₂=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴x₁=$\frac{5}{6}$，x₂=$\frac{4}{3}$，
∴x₁+x₂=$\frac{13}{6}$，
故答案为：$\frac{13}{6}$．

点评 本题考查求两条直线的交点坐标的方法，三角形外心的性质，向量的坐标表示及向量相等的条件，待定系数法求参数值．属中档题．