题目内容
【题目】已知,
,动点
满足直线
与直线
的斜率之积为
,设点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)若过点的直线
与曲线
交于
,
两点,过点
且与直线
垂直的直线与
相交于点
,求
的最小值及此时直线
的方程.
【答案】(1)(2)
的最小值为1,此时直线
:
【解析】
(1)用直接法求轨迹方程,即设动点为,把已知用坐标表示并整理即得.注意取值范围;
(2)设:
,将其与曲线
的方程联立,消元并整理得
,
设,
,则可得
,
,由
求出
,
将直线方程
与
联立,得
,求得
,计算
,设
.显然
,构造
,由导数的知识求得其最小值,同时可得直线
的方程.
(1)设,则
,即
整理得
(2)设:
,将其与曲线
的方程联立,得
即
设,
,则
,
将直线:
与
联立,得
∴
∴
设.显然
构造
在
上恒成立
所以在
上单调递增
所以,当且仅当
,即
时取“=”
即的最小值为1,此时直线
:
.
(注:1.如果按函数的性质求最值可以不扣分;2.若直线方程按斜率是否存在讨论,则可以根据步骤相应给分.)
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