Question

已知函数，f（x）=

(x2-2ax)ex，x＞0 bx，x≤0

，g(x)=clnx+b，且x=

2

是函数y=f（x）的极值点．
（1）若方程f（x）-m=0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（2）若直线L是函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线，且直线L与函数Y=G（X）的图象相切于点P（x₀，y₀），x0∈[e-1，e]，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出其导函数，利用x=

2

是函数y=f（x）的极值点，求出a的值；函数y=f（x）-m有两个零点，转化为函数y=f（x）的图象与直线y=m有两个不同的交点，利用导函数求出函数y=f（x）的单调区间，从而求出实数m的取值范围；
（2）利用导函数分别求出两个函数的切线方程，利用方程相等，对应项系数相等即可求出关于实数b的等式，再借助于其导函数即可求出实数b的取值范围．

解答：解：（1）x＞0时，f（x）=（x²-2ax）e^x，
∴f'（x）=（2x-2a）e^x+（x²-2ax）e^x=[x²+2（1-a）x-2a]e^x，
由已知，f′（

2

）=0，∴[2+2

2

（1-a）-2a]e

2

=0，
∴2+2

2

-2a-2

2

a=0，∴a=1，
∴x＞0时，f（x）=（x²-2x）e^x，
∴f'（x）=（2x-2）e^x+（x²-2x）e^x=（x²-2）e^x．
令f'（x）=0得x=

2

（x=-

2

舍去）
当x＞0时，

∴当 x∈（0，

2

）时，f（x）单调递减，当 x∈（

2

，+∞），f（x）单调递增，
∴x＞0时，f（x）∈（（2-2

2

）e

2

，+∞）
要使方程f（x）-m=0有两不相等的实数根，即函数y=f（x）的图象与直线y=m有两个不同的交点．
①当b＞0时，m=0或 m=（2-2

2

）e

2

；
②当b=0时，m∈（（2-2

2

）e

2

，0）；
③当b＜0时，m∈（（2-2

2

）e

2

，+∞）
（2）x＞0时，f（x）=（x²-2x）e^x，f'（x）=（x²-2）e^x，∴f（2）=0，f'（2）=2e²．
函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线l的方程为：y=2e²（x-2），
∵直线l与函数g（x）的图象相切于点P（x₀，y₀），x₀∈[e^-1，e]，∴y₀=clnx₀+b，g′(x)=

c

x

∴切线l的斜率为 g′（x₀）=

c

x0

∴切线l的方程为：y-y₀=

c

x0

（x-x₀），即y=

c

x0

x-c+b+clnx₀，
∴

c x0 =2e2 -c+b+clnx0=-4e2

，∴

c=2e2x0 b=c-clnx0-4e2

∴b=2e²（x₀-x₀lnx₀-2），其中x₀∈[e^-1，e]
记h（x₀）=2e²（x₀-x₀lnx₀-2），其中x₀∈[e^-1，e]，h'（x₀）=-2e²lnx₀，
令h'（x₀）=0，得x₀=1．

又h（e）=-4e²，h（e^-1）=4e-4e²＞-4e²．
∵x₀∈[e^-1，e]，∴h（x₀）∈[-4e²，-2e²]，
∴实数b的取值范围为：{b|-4e²≤b≤-2e²}．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查函数与方程思想，属于中档题．